Filter typen op basis van R en C

Een filter is (in deze context) een schakeling die frequenties uit een aangeboden signaal verwijderd. Van belang zijn daarbij de mate waarin de onderdrukking van de ongewenste frequenties plaatsvindt (steilheid) en de precisie waarmee dat gebeurt (kwaliteit of Q). Een en ander is afhankelijk van de karakteristiek van het filter. 
In laagfrequente toepassingen volstaat meestal een RC filter, in hoogfrequente schakelingen worden ook spoelen als filterelementen toegepast. Bij de hier besproken filters treedt altijd een verzwakking van het signaal op.

Afhankelijk van de toepassing zijn de volgende filters in gebruik:

Filters op basis van R en C in detail
De hierna besproken R C filters zijn passief, d.w.z. dat er geen versterking wordt toegepast. Het uiteindelijk resultaat is dus altijd een verzwakking van het ingangssignaal. Bovendien voldoen de filters niet aan het ideale plaatje zoals hierboven is weergegeven. De karakteristiek zal een trage dalende of stijgende lijn zijn vanaf de centrumfrequentie.

Omdat er slechts één frequentie afhankelijk element in de schakeling zit noemen we het eerste order filters.
De kantelfrequentie noemen we de frequentie waarop het filter een verzwakking van -3db bereikt.

De verschillende filters worden nu in detail besproken. Het ingangssignaal noemen we V_IN en het uitgangssignaal V_UIT.

Het Bode diagram
Het gedrag van een RC filter is grafisch weer te geven met behulp van een bode diagram. Met een dergelijk diagram kun je in één oogopslag het gedrag van het gerepresenteerde RC filter begrijpen. Een voorbeeld van een bode diagram van het laag-doorlaat-filter staat in hiernaast.

De frequentiekarakteristiek is weergegeven in het bovendeel van het diagram. De karakteristiek loopt horizontaal tot vlak bij de kantelfrequentie. Dan buigt hij naar beneden om bij -3dB de kantelfrequentie te bereiken. Daarna buigt de karakteristiek verder tot een dempingshoek van 20dB per decade ofwel 6dB per octaaf. Het gebied van 0 tot de kantelfrequentie noemt men de doorlaatband en is tevens de bandbreedte van dit filter.

Het gebied boven de kantelfrequentie heet de stopband. De demping in de stopband neemt toe met de frequentie en heel hoge frequenties zullen in het geheel niet meer worden doorgelaten.

De kantelfrequentie is de frequentie waarop de wisselstroomweerstand van de condsensator gelijk is aan de ohmse weerstand van R. Dat is het punt waarop de demping -3dB bedraagt en de uitgangsspanning 70,7% van de ingangsspanning bedraagt. Dat lijkt vreemd omdat de beide weerstanden immers gelijk zijn? Houdt er dan rekening mee dat de som van de weerstanden ook frequentieafhankelijk is. Z zal dus ook dynamisch veranderen. De berekening is met behulp van het ingevoegde rekenblad te controleren.

Het onderste deel van het bodediagram toont het fase gedrag van het laag doorlaat filter. Bij de lage frequenties is de wisselstroomweerstand van C1 erg hoog en van weinig invloed op het uitgangssignaal. De schakeling gedraagt zich resistief (als een weerstand) en er is dus geen fase verschuiving. Naarmate de frequentie toeneemt neemt de wisselstroomweerstand van C af en zal het fase gedrag steeds sterker door C worden beïnvloed.

De fasehoek M van het uitgangssignaal t.o.v. het ingangssignaal wordt steeds groter. Bij de kantelfrequentie is M al -45^o . Het uitgangssignaal loopt achter bij het ingangssignaal ten gevolge van de laadtijd van de condensator.

Uit eindelijk wordt de wisselstroomweerstand van de condensator zo klein dat zij de schakeling volledig domineert. De fasehoek M is dan 90° geworden.

De kantelfrequentie en de fasehoek zijn als volgt te berekenen:

Kantelfrequentie:

Fasehoek:

Op deze manier kunnen we filters combineren. Afhankelijk van het aantal frequentieafhankelijke elementen krijgen ze een ordernummer. Twee laagdoorlaatfilters achter elkaar vormen zo een tweede order filter.

Het aantal van n filters achter elkaar vormt een n-de order filter. De dempingshoek kunnen we eenvoudigweg berekenen door n met -20dB te vermenigvuldigen. Een n-de order filter heeft dus een demping van

n x-20dB/decade of nx6dB/octaaf. Een 4^e order filter komt op die manier goed in de buurt van de ideale karakteristiek van een laag doorlaatfilter. Helaas is de praktijk weerbarstiger. Elk filter vormt immers (een frequentie afhankelijke) belasting voor zijn voorganger! De resultaten voor de uitgangsspanning en de kantelfrequentie zijn dramatisch. Bij elke filter is de uitgangsspanning bij de kantelfrequentie ongeveer 70% van het signaal van de voorganger. Bij een 4^e order filter houdt je dus 0,7*0,7*0,7*0,7*V_IN over hetgeen gelijk is aan ca 24% van het oorspronkelijke ingangssignaal! De officiële formule voor de demping van een n-de order filter luidt als volgt:

Met het aantal filters verschuift dus ook de kantelfrequentie naar beneden volgens de volgende formule:

In het bode diagram van een 2-de order laagdoorlaatfilter zijn de resultaten duidelijk te zien:

De blauwe lijn is de karakteristiek van een eerste order laagdoorlaatfilter, de rode is de karakteristiek van een tweede order laagdoorlaatfilter op basis van dezelfde componenten. Ten gevolge van de onderlinge dynamische samenhang is het lastig een stabiele meerder order filter te ontwerpen en toe te passen. Als vuistregel wordt wel gebruikt dat in elke volgende trap de weerstand 10x groter en de condensator 10x kleiner te kiezen. Daardoor verandert natuurlijk wel de Fc van filter 2, hetgeen de effectiviteit voor een groot deel teniet doet.  

Meerdere order filters worden daarom over het algemeen als actief filter ontworpen waarbij men gebruik maakt van één of meerdere operationele versterkers.

Hierboven zie je op het eerste plaatje een kristalrooster van Silicium. Het is een sterk rooster omdat de silicium atomen steeds een electron van elkaar kunnen lenen om de buitenste schil vol te maken. Het plaatje moet je je eigenlijk driedimensionaal voorstellen. De zes paren worden dus steeds door twee atomen gedeeld. Hierdoor is de band tussen de elektronen en de kernen heel sterk (Dit heet covalente binding.) Zuiver Silicium is daardoor een slechte geleider.  Als we het zuiver silicium vervuilen met atomen die niet precies in dit raster passen zoals bijvoorbeeld fosfor dat 5 elektronen heeft in de buitenste schil, ontstaat er een verschijnsel waar we handig gebruik van kunnen maken. Het ene overschietende elektron van het fosforatoom past niet in de bindingen en is dus “vrij”. De geleidende eigenschappen van het kristal nemen daardoor sterk toe. Omdat er negatieve deeltjes “teveel” in dit rooster zitten noemen we het N-Silicium. We kunnen ook een vervuiling aanbrengen met een atoom met drie elektronen in de buitenste schil zoals Borium. Nu ontstaat er als het ware een gat in het rooster waar een elektron makkelijk in kan voegen. Dat elektron komt dan echter van een ander atoom dat dan weer een elektron tekort heeft. Zo verhuist het gat als het ware door het materiaal waardoor het ook geleidend wordt. Silicium met deze vervuiling noemt met P-Silicium.

Als we nu elektronen in de N laag van de diode persen wordt de druk op de sperlaag groter. Op een gegeven moment is de druk (spanning) zo groot dat de elektronen over de sperlaag kunnen springen. Boven die spanning (0,7 Vol bij gewoon silicium) geleidt de diode vrijwel volledig. Bij een onbegrensde spanningsbron zal dat tot hele hoge stromen leiden waardoor de diode defect raakt. Een serieweerstand is dus noodzakelijk

Als we elektronen in de P laag van de diode persen zullen deze de gaten van deze laag gaan vullen en wordt de sperlaag dus juist breder. (hetzelfde gebeurt aan de N kant waar we in feite de elektronen wegzuigen) Het gevolg is dat er helemaal geen stroom gaat lopen. ( in werkelijkheid loopt er vrijwel bij elke diode een heel kleine lekstroom). Let op dit gedrag is gebonden aan een maximum spanning. Bij overschrijding gaat de diode kapot.

Voor dat je begint met de schakeling is het goed om eerst na te denken over hoeveel DC spanning en stroom er moeten worden geschakeld. Op basis van die gegevens kun je de juiste mosfet uitzoeken. De belangrijkste parameters vind je in de gegevensbladen van de fabrikant. Het gaat dan om de Drainstroon I_D, de Gatespanning V_GS , de maximale Drainspanning V_DS(MAX) en het maximale vermogen dat de mosfet mag dissiperen. Een belangrijke parameter is de geleidingsweerstand bij volledige geleiding RD_S(ON). Verder is de minimale gatespanning waarbij de mosfet begint te geleiden V_GS(th) van belang. De Drain gedraagt zich min of meer als een stroombron die, vanaf een volt of twee drainspanning, een constante stroom levert waarvan de grootte afhangt van de gatespanning. De gate is volledig geïsoleerd van de rest van de Mosfet en er loopt dus geen gate stroom! Daardoor is een Mosfet heel makkelijk aan te sturen met een DC spanning. De Mosfet heeft echter een relatief groot oppervlak met een hele dunne scheidingslaag tussen de Gate en het substraat. Daardoor heeft de Mosfet een relatief grote ingangscapaciteit. Dat zorgt er voor dat er kortstondig wel stroom loopt naar de gate om deze op lading te brengen (zie condensator). Die korte piek kan zo heftig zijn dat het soms noodzakelijk is de stuurschakeling te beschermen door een serieweerstand in de gateleiding, hetgeen de schakelaar ietwat traag maakt. LET OP Omdat mosfet’s zich gedragen als een regelbare stroombron, wordt de hoogste stroom c.q. de laagste interne weerstand meestal pas bereikt bij een spanning die flink hoger is dan de V_GS(th)

Meestal zelfs een spanning die hoger is dan de 5V die een 5V microcontroller levert als logische 1. Je moet dus zorgvuldig de databladen doornemen om te zien of de mosfet voldoende stroom kan leveren bij logische spanning die je systeem levert. ( zie hier) Een alternatief is om een mosfet te kiezen die ontworpen is om samen te werken met 5V logica. Dat wordt een logische mosfet genoemd. In dat geval staat er in de gegevensbladen een doorgangsweerstand RD_S(ON) bij 5Volt vermeld en een startspanning V_GS(th) van 0,5 tot 1V

Dat probleem wordt nog groter bij 3,3V logica, maar ook hier zijn gelukkig al oplossingen beschikbaar. De IRLZ44 en de Si4866DY werken bijvoorbeeld al goed bij de gatespanning van 3,3V en zijn daarom direct inzetbaar voor het schakelen van grote DC stromen in een 3,3V systeem. Heb je al een mosfet beschikbaar die niet voldoet aan deze “logische”eisen dan kun je zelf eenvoudig een hulpschakeling bouwen. Een uitgebreide beschouwing over dit onderwerp vind je hier.

Voor de duidelijkheid de aansluitingen van de IRF7470PbF

Als voorbeeld een schakelaar voor een 24V 200W verwarmingselement.

Het verwarmingselement is een draadweerstand met een kleine inductiviteit. Daarom is er geen vrijloopdiode opgenomen. Omdat de weerstand van het verwarmingselement bij een koude start lager is moeten we rekening houden met minimaal 5 ampère startstroom. De gekozen Mosfet IRF7470PbF doet dit klusje op zijn sloffen: V_DS(MAX) =40V, I_D(MAX) =10 A, vermogen 2,5Watt bij kamertemperatuur, RD_S(ON) = 13 mOhm (0,0013 ohm) en een V_GS(th) van 2 Volt. Houd er rekening mee dat de laagste weerstand en de hoge stroom pas bereikt worden bij een hoge Gate-spanning, in dit geval 4,5 V. Als voorbeeld een schakelaar voor een 24V 200W verwarmingselement.

Het verwarmingselement is een draadweerstand met een kleine inductiviteit. Daarom is er geen vrijloopdiode opgenomen. Omdat de weerstand bij een koude start lager is moeten we rekening houden met minimaal 5 ampère startstroom. De gekozen Mosfet IRF7470PbFdoet dit klusje op zijn sloffen, het maximum vermogen 2,5Watt bij kamertemperatuur wordt bij lange na niet gehaald. De Mosfet heeft een ingangscapaciteit van 5 nF. De 1K serieweerstand beschermt de sturing tegen hoge stroompieken. De 10k weerstand zorgt ervoor dat de stuurspanning zonder actieve sturing altijd aan de nul Volt ligt.

Voor dat je begint met de schakeling is het goed om eerst na te denken over hoeveel DC spanning en stroom er moeten worden geschakeld. Op basis van die gegevens kun je de juiste transistor uitzoeken. De belangrijkste parameters daarvoor vind je in de gegevensbladen van de fabrikant. Van de collectorstroom I_C , de basisstroom I_B en de spanning over de transistor V_CE worden de maximum waardes en de normale “in bedrijf” waardes gegeven. Verder worden ook V_BE max en het maximum vermogen I_C*V_CE opgegeven. Tenslotte is de stroomversterkingsfactor H_FE (ß) een belangrijke waarde. Bij een NPN transistor wordt de Collector (via de last) aan de positieve spanning gelegd, terwijl de emitter aan de nul wordt gelegd. De collector moet altijd positiever zijn dan de emitter! In dat geval is de collector de basisstroom keer de stroomversterkingsfactor. In formulevorm: I_C = H_FE*I_B = ß*I_B. De basisstroom en de collectorstroom vormen samen de emitterstroom. Let op de H_FE is per transistor van het zelfde type verschillend en bovendien afhankelijk van de collectorstroom de spanning over de emitter en de temperatuur. Voor de transistor als schakelaar maakt dat gelukkig niet heel veel uit, we kiezen de basisstroom altijd aan de ruime kant om snel en zeker schakelen te garanderen. Verder nog de volgende aanbevelingen. Leg de basis ook met een grotere weerstand aan aarde zodat de basis altijd is gedefinieerd. Bescherm de transistor tegen spikes door inductieve lasten (relais) met een vrijloopdiode. Dat geldt natuurlijk ook voor eventuele negatieve spanningspieken!

Vezadiging

Er gebeurt nog iets door de hoger ingestelde basisstroom. In principe verwacht je ook een grotere collectorstroom, maar een transistor kan niet werken als de collectorspanning niet groter is dan de emitterspanning. Door de grotere basisstroom zoekt de transistor nu zelf het punt op waarbij hij nog goed functioneert. Dat betekent dat er een spanning over de collector/emitter blijft staan van 0,5V of zelfs minder. De transistor is in verzadiging! En dat beperkt ook meteen de dissipatie van de transistor die nu met 0,5 x 0,033 = 0,0165 mW is, dus kleiner is dan 20mW, hetgeen ruim binnen de specificaties van de genoemde transistoren is.

Als voorbeeld een schakelaar voor een 12V relais.

Het relais in dit voorbeeld is de Panasonic DS1MNil12 met een spoelweerstand van 360 ohm en een stroom van 33,3 mA. Dit relais is zelfs in staat om 230VAC te schakelen, maar wel bij een kleine stroom. Bij 30VDC schakelt het relais 2 A.

Alle genoemde transistoren kunnen ruim meer dan 33,3 mA voeren. De transistor wordt beveiligd tegen spanningspieken over de spoel door de diode D1.

Nu even rekenen, de BS 546B heeft een H_FE van 150, dus voor de 33 mA collectorstroom is een basisstroom van 33/150 = 0,22 mA nodig.

Er vanuit gaande dat de stuurspanning op de ingang 5V is (Arduino) dan is de basisstroom (5-0,7)/2200=2mA. Een factor 10 te groot dus. De 0,2 mA stroom via de pull-down weerstand is daarbij verwaarloosbaar klein. Die factor 10 is in dit geval prima. Ten eerste omdat de H_FE van de transistor veel kleiner wordt bij een klein spanningsverschil tussen collector en emitter. Verder kunnen zo ook componenten worden geschakeld die een hogere aanloopstroom nodig hebben.

Wil je hogere spanningen en/of stromen schakelen dan loop je al snel tegen problemen op, zoals een hoge vereiste basisstroom en / of een hoge saturatiespanning dus een te groot vermogen. In dat geval is het handiger om te kiezen voor een mosfet. Daarom een voorbeeld van een mosfet schakelaar. Voorbeeld 2, een 48 VDC / 5 A motor geschakeld met de mosfet IRLZ44

De IRLZ44 is een “logische mosfet”, dat wil zeggen dat hij goed kan schakelen op basis van de logische voltages 0 VDC en 5 VDC. En zelfs bij een 3,3 VDC systeem voldoet de mosfet nog prima. Met een interne weerstand van 0,05 ohm blijft het vermogen ook beperkt tot 250 mW bij 5 A. De 1K weerstand is bedoeld om de uitgang van de controller te beschermen tegen de laadpiek van de gate condensator van 3,3nF. R4 is een garantie dat de mosfet altijd uitschakelt als de controller niet actief is.

We gaan er even vanuit dat deze cel optimaal wordt verlicht door de zon.

De cel levert dan een stroom van ca 3 Ampère. Gaan we de cel zwaar belasten, bijvoorbeeld met een weerstand van 0,06 Ohm, dan kan de cel maar 0,18 Volt leveren en dus een vermogen van slechts 0,4 Watt. Bij 0,1 Ohm is de opbrengst al beter met bijna 1 Watt.

Bij 0,28 Ohm is de opbrengst maximaal namelijk 1,3 Watt bij 0,48V en 2,7 Ampère.

Bij een hogere weerstand neemt de stroom zodanig af dat het geleverde vermogen snel onderuit gaat. Er is dus precies één belasting die het beste resultaat geeft m.b.t. het geleverde vermogen. En die belasting is niet alleen verschillend per cel, maar ook met de hoeveelheid licht die op de cel valt. En dat zelfde geldt voor een door wind of water turbine aangedreven generator. Daarom wordt het maximum power point steeds bewaakt en wordt de belasting daaraan voortdurend aangepast. Dat heet maximum power point tracking.

In goed Nederlands, voortdurende optimalisering van de belasting.